À propos de triplets pythagoriciens

Énoncé

On s'intéresse aux triplets pythagoriciens dont le plus grand entier vaut \(p\) , c'est-à-dire les triplets \((x;y;p)\) avec \(x\) , \(y \in \mathbb{N}^\ast\) et \(p\) premier tels que \(x^2+y^2=p^2\) .

Soit \((x;y;p)\) un tel triplet pythagoricien.

1. Montrer que \(p\) ne peut pas être égal à \(2\) .

2. a. Montrer que ni \(x\) , ni \(y\)  n'est divisible par \(p\) .
    b. En déduire que \(x\) et \(y\) sont premiers entre eux.

Solution

1. Raisonnons par l'absurde, et supposons que \(p=2\) .  On a alors \(x^2+y^2=2^2=4\) . Ainsi,  \(x^2\) est le carré d'un entier strictement positif et est inférieur à \(4\) , donc \(x^2\) peut valoir \(1\) ou \(4\) .

• Si \(x^2=1\) , on a alors \(y^2=4-x^2=4-1=3\) , ce qui est impossible car \(3\) n'est pas le carré d'un entier.
  
• Si \(x^2=4\) , on a alors \(y^2=4-x^2=4-4=0\) , ce qui est impossible car \(y>0\) .
  

Par conséquent, \(p\) ne peut pas valoir \(2\) .

2. a. Comme \(x\) et \(y\) jouent des rôles symétriques, il suffit de prouver que \(x\) n'est pas divisible par \(p\) . Raisonnons par l'absurde, et supposons que \(x\) est divisible par \(p\) , c'est-à-dire \(x=pk\) avec \(k \in \mathbb{N}^\ast\) (on a \(k>0\) car \(x>0\) ).
On a alors :  \(p^2=x^2+y^2=(pk)^2+y^2=p^2k^2+y^2\)  
donc \(y^2=p^2(1-k^2)\) , et donc \(p\) divise \(y^2\) , puis \(p\) divise \(y\) .
Ainsi, on peut écrire \(y=p\ell\) avec \(\ell \in \mathbb{N}^\ast\) (on a \(\ell>0\) car \(y>0\) ).
On a donc :  \(p^2=x^2+y^2=(pk)^2+(p\ell)^2=p^2k^2+p^2\ell^2\)  et en divisant par \(p^2\) (qui n'est évidemment pas nul), \(1=k^2+\ell^2\) . Cette égalité est impossible, car \(k\) et \(\ell\) sont tous deux supérieurs à \(1\) .
Par conséquent, \(x\) n'est pas divisible par \(p\) et de même, \(y\) n'est pas divisible par \(p\) .

    b. Notons \(d=\mathrm{PGCD}(x;y)\) et \(x'\) , \(y' \in \mathbb{N}^\ast\) tels que \(x=dx'\) et \(y=dy'\) .
On a :  \(p^2=x^2+y^2=(dx')^2+(dy')^2=d^2\left((x')^2+(y')^2\right)\)  donc \(d\) divise \(p^2\) . Comme \(p\) est premier, les diviseurs positifs de \(p^2\) sont \(1\) , \(p\) et \(p^2\) . On a donc trois alternatives :

• ou bien \(d=p^2\) , et l'égalité ci-dessus devient 
  \(\begin{align*}p^2=p^4\left((x')^2+(y')^2\right)\ \ \Longleftrightarrow \ \ 1=p^2\left((x')^2+(y')^2\right)\end{align*}\)  
  ce qui est impossible, car \(x'\) et \(y'\) sont tous deux supérieurs à \(1\) , donc le membre de droite est strictement supérieur à \(1\) ;

• ou bien \(d=p\) , ce qui est impossible car selon la question 2.a, ni \(x\) ni \(y\)  n'est divisible par \(p\) ;
• ou bien \(d=1\) , qui est donc la seule alternative restante, et signifie comme attendu que \(x\) et \(y\) sont premiers entre eux.